First-order optics: image formation and cardinal points

El artículo anterior estableció los cimientos de la óptica geométrica: la naturaleza de la luz, el espectro electromagnético y la ley de Snell. Con esa base, toca dar el siguiente paso: cómo se predice dónde aparece una imagen y de qué tamaño, sin trazar cada rayo superficie por superficie. En el diseño de sistemas ópticos, antes de abordar las aberraciones o la fabricación, es imperativo establecer la arquitectura básica del sistema. La óptica de primer orden —también llamada óptica gaussiana— describe el comportamiento de los sistemas ópticos «perfectos» en la región paraxial: una franja infinitesimalmente delgada alrededor del eje óptico donde todos los ángulos son tan pequeños que sus senos y tangentes se pueden igualar al propio ángulo en radianes.

sin θ ≈ tan θ ≈ θ

Parece una simplificación excesiva, pero un sistema bien corregido sigue estas leyes de forma casi exacta —lo que convierte estos cálculos en la base de cualquier diseño óptico serio.

El concepto de caja negra y los puntos cardinales

Un sistema óptico complejo, compuesto por varias lentes y espejos, se puede tratar como una caja negra cuyas propiedades de formación de imagen quedan completamente definidas por sus puntos cardinales. Conociendo solo los puntos de entrada y salida, estos puntos permiten calcular la trayectoria de la luz a través de todo el sistema sin preocuparse por las refracciones intermedias.

Fig. 1 — El sistema se trata como una caja negra: basta con los puntos cardinales —F₁, P₁, P₂, F₂— para seguir el rayo de entrada a salida, sin conocer las superficies internas.

Existen tres pares de puntos cardinales fundamentales:

Puntos focales (F₁, F₂). Los rayos que entran al sistema paralelos al eje óptico —procedentes de un objeto en el infinito— se cruzan en el segundo punto focal F₂. A la inversa, los rayos que pasan por el primer punto focal F₁ emergen paralelos al eje.
Puntos principales (P₁, P₂). Son los puntos de intersección de los planos principales con el eje óptico. Estos planos tienen aumento unitario: un rayo parece entrar al sistema a una altura y sobre el primer plano principal, y parece emerger del segundo plano principal a esa misma altura y.
Puntos nodales (N₁, N₂). Un rayo dirigido hacia el primer punto nodal emerge del sistema como si procediera del segundo punto nodal, con la misma dirección angular de entrada. Dato clave para el ingeniero: cuando el sistema está sumergido en aire —el caso más habitual— los puntos nodales coinciden exactamente con los puntos principales.

Definiciones de distancia focal

A partir de estos puntos se definen las distancias que de verdad importan para el diseño mecánico y óptico:

Distancia focal efectiva (EFL). La distancia desde el punto principal hasta el punto focal correspondiente (f o f′). Es el valor que define la potencia del sistema.
Distancia focal posterior (BFL). La distancia desde el vértice de la última superficie física de la lente hasta el segundo punto focal. Vital para asegurar que quede espacio para el sensor o los prismas detrás de la lente.
Distancia focal frontal (FFL). La distancia desde la primera superficie física hasta el primer punto focal.

Fig. 2 — EFL, BFL y FFL: la EFL se mide desde el plano principal, mientras que BFL y FFL se miden desde el vértice físico de la lente —la cota que de verdad limita el espacio mecánico disponible.

Ecuaciones fundamentales para localizar imágenes

Para evitar el trazado de rayos superficie por superficie, el ingeniero recurre a dos formas matemáticas de la misma ley.

La ecuación de Newton

Ideal cuando se conocen las distancias respecto a los focos. Si x es la distancia del objeto al primer foco y x′ la distancia de la imagen al segundo foco:

x · x′ = −f · f′

En aire, donde f = f′, la ecuación se simplifica a x′ = −f² / x.

La ecuación de Gauss

Es la forma más usada en la práctica: mide las distancias s (objeto) y s′ (imagen) desde los planos principales.

1/s′ = 1/f + 1/s

Siguiendo la convención de signos habitual, un objeto situado a la izquierda de la lente da un valor de s negativo.

Fig. 3 — Dos rayos bastan para localizar la imagen: el paralelo al eje que pasa por F₂, y el que atraviesa el centro sin desviarse. La imagen resulta invertida y real.

Aumento lateral y longitudinal

El aumento lateral (m) es la relación entre el tamaño de la imagen (h′) y el del objeto (h):

m = h′/h = s′/s

Un valor de m negativo indica una imagen invertida (real); un valor positivo indica una imagen erecta (virtual).

El aumento longitudinal (m_L), por su parte, describe cómo se magnifica el grosor de un objeto a lo largo del eje óptico, y se relaciona con el lateral mediante la aproximación:

m_L ≈ m²

Es decir, si un sistema tiene un aumento lateral de 2, un objeto con profundidad se verá 4 veces más profundo en el espacio imagen —una trampa habitual para quien diseña relés de profundidad o sistemas 3D.

Fig. 4 — Aumento lateral: la imagen sale invertida y el doble de alta (m = −2). El aumento longitudinal crece con el cuadrado de m: la misma escena, cuatro veces más profunda en el espacio imagen.

Convención de signos: el estándar en ingeniería

Para que estas ecuaciones funcionen sin ambigüedad, el ingeniero sigue una convención estricta:

La luz viaja de izquierda a derecha.
Las distancias medidas a la derecha de un punto de referencia son positivas; a la izquierda, negativas.
Las alturas sobre el eje óptico son positivas.
La distancia focal de una lente convergente es positiva, y la de una divergente, negativa.

Media docena de puntos y dos ecuaciones bastan para diseñar el layout de un telescopio sin trazar un solo rayo por cada lente.

De la caja negra a las aberraciones reales

El dominio de la óptica de primer orden permite al ingeniero realizar el diseño preliminar —el layout— de instrumentos complejos como telescopios y microscopios, tratando cada grupo de lentes como un componente simple definido por sus puntos cardinales. Una vez asentada esta base, el siguiente paso natural es analizar las aberraciones de Seidel: las desviaciones reales que cualquier sistema construido presenta frente a este modelo ideal de rayos paraxiales.

END

The previous article laid the foundations of geometrical optics: the nature of light, the electromagnetic spectrum and Snell's law. With that in place, it's time for the next step: how to predict where an image forms and how big it is, without tracing every ray surface by surface. In optical system design, before tackling aberrations or manufacturing, it's essential to establish the system's basic architecture. First-order optics —also called Gaussian optics— describes the behaviour of "perfect" optical systems in the paraxial region: an infinitesimally thin strip around the optical axis where every angle is small enough that its sine and tangent can be set equal to the angle itself, in radians.

sin θ ≈ tan θ ≈ θ

It sounds like an excessive simplification, but a well-corrected system follows these laws almost exactly —which makes these calculations the foundation of any serious optical design.

The black-box concept and the cardinal points

A complex optical system, made up of several lenses and mirrors, can be treated as a black box whose image-forming properties are fully defined by its cardinal points. Knowing only the entry and exit points, these let you calculate the path of light through the whole system without worrying about the refractions happening in between.

Fig. 1 — The system is treated as a black box: the cardinal points —F₁, P₁, P₂, F₂— are enough to follow the ray from entry to exit, without knowing the internal surfaces.

There are three fundamental pairs of cardinal points:

Focal points (F₁, F₂). Rays entering the system parallel to the optical axis —coming from an object at infinity— cross at the second focal point F₂. Conversely, rays passing through the first focal point F₁ emerge parallel to the axis.
Principal points (P₁, P₂). These are where the principal planes intersect the optical axis. Those planes have unit magnification: a ray appears to enter the system at some height y above the first principal plane, and appears to leave the second principal plane at that same height y.
Nodal points (N₁, N₂). A ray aimed at the first nodal point emerges from the system as if it came from the second nodal point, at the same angle it went in with. Key fact for the engineer: when the system sits in air —the most common case— the nodal points coincide exactly with the principal points.

Focal length definitions

These points define the distances that actually matter for mechanical and optical design:

Effective focal length (EFL). The distance from the principal point to the corresponding focal point (f or f′). It's the value that defines the system's power.
Back focal length (BFL). The distance from the vertex of the lens's last physical surface to the second focal point. Vital for making sure there's room for a sensor or prisms behind the lens.
Front focal length (FFL). The distance from the first physical surface to the first focal point.

Fig. 2 — EFL, BFL and FFL: EFL is measured from the principal plane, while BFL and FFL are measured from the lens's physical vertex —the dimension that actually limits available mechanical space.

Fundamental equations for locating images

To avoid tracing rays surface by surface, the engineer relies on two mathematical forms of the same law.

Newton's equation

Ideal when the distances are known relative to the foci. If x is the distance from the object to the first focus and x′ the distance from the image to the second focus:

x · x′ = −f · f′

In air, where f = f′, the equation simplifies to x′ = −f² / x.

The Gauss equation

The form most used in practice: it measures the distances s (object) and s′ (image) from the principal planes.

1/s′ = 1/f + 1/s

Following the usual sign convention, an object placed to the left of the lens gives a negative value of s.

Fig. 3 — Two rays are enough to locate the image: the one parallel to the axis that passes through F₂, and the one through the centre that isn't deviated. The image is inverted and real.

Lateral and longitudinal magnification

Lateral magnification (m) is the ratio between the image size (h′) and the object size (h):

m = h′/h = s′/s

A negative value of m indicates an inverted (real) image; a positive value indicates an upright (virtual) image.

Longitudinal magnification (m_L), meanwhile, describes how much an object's thickness is magnified along the optical axis, and relates to the lateral one through the approximation:

m_L ≈ m²

In other words, if a system has a lateral magnification of 2, an object with depth will appear 4 times deeper in image space —a common trap for anyone designing depth relays or 3D systems.

Fig. 4 — Lateral magnification: the image comes out inverted and twice as tall (m = −2). Longitudinal magnification grows with the square of m: the same scene, four times deeper in image space.

Sign convention: the engineering standard

For these equations to work without ambiguity, the engineer follows a strict convention:

Light travels from left to right.
Distances measured to the right of a reference point are positive; to the left, negative.
Heights above the optical axis are positive.
The focal length of a converging lens is positive, and that of a diverging one is negative.

Half a dozen points and two equations are enough to lay out a telescope without tracing a single ray through a single lens.

From black box to real aberrations

Mastering first-order optics lets the engineer carry out the preliminary design —the layout— of complex instruments such as telescopes and microscopes, treating each lens group as a simple component defined by its cardinal points. Once this foundation is in place, the natural next step is to analyse Seidel aberrations: the real deviations any built system shows against this ideal paraxial-ray model.

END