The 7 master steps of the Finite Element Method

En nuestro primer artículo vimos cómo el FEA transforma un objeto real en un modelo matemático mediante la discretización: trocear la pieza en elementos finitos conectados por nodos. Pero discretizar es solo el primer movimiento. ¿Qué hace el software con esa malla para convertirla en un número de tensión?

El MEF no improvisa. Seas consciente o no de ello, cada vez que pulsas «Solve» el software ejecuta la misma secuencia de siete pasos, en el mismo orden, para transformar leyes físicas en miles de ecuaciones algebraicas simultáneas. Entender esa secuencia — y saber cuál de los siete pasos depende de ti — es lo que separa manejar el software de entender lo que hace.

Un mapa antes de entrar en detalle

Antes de entrar en cada paso, conviene ver el conjunto. De los siete, el primero es una decisión del ingeniero; los seis restantes los ejecuta el software de forma automática, encadenados como un único proceso: de la malla a la matriz, de la matriz a los desplazamientos, de los desplazamientos a las tensiones.

Fig. 1 — Los 7 pasos del MEF. El paso 1 (azul) lo decide el ingeniero; los pasos 2 a 7 los ejecuta el software de forma automática y encadenada, hasta llegar al resultado.

Paso 1: Discretización y selección del tipo de elemento

El primer paso consiste en dividir la estructura en partes pequeñas llamadas elementos, conectados por nodos. Aquí, el ingeniero debe decidir qué tipo de elemento representa mejor la física del problema:

1D (líneas): barras o vigas para estructuras delgadas.
2D (planos): para estados de tensión o deformación plana y cáscaras delgadas.
3D (sólidos): tetraedros o hexaedros para piezas voluminosas.

Esta elección no la hace el software por ti — y un elemento mal elegido invalida todo lo que viene después, por preciso que sea el resto del cálculo.

Paso 2: Seleccionar una función de desplazamiento

Dentro de cada elemento, el software debe «adivinar» cómo se va a deformar el material entre los nodos. Para ello, se asume una función de desplazamiento (generalmente un polinomio lineal, cuadrático o cúbico). Estas funciones se expresan mediante funciones de forma (shape functions), que garantizan que el desplazamiento en cualquier punto interno dependa de los movimientos de los nodos de ese elemento.

Fig. 2 — La función de forma interpola el desplazamiento entre los nodos conocidos (d_i, d_j). Un polinomio de mayor orden (cuadrático) sigue la deformación real con más fidelidad que uno lineal, a cambio de más coste de cálculo.

Paso 3: Definir las relaciones deformación-desplazamiento y tensión-deformación

En este punto, pasamos de la geometría a la física:

Deformación-desplazamiento. Se usan ecuaciones cinemáticas para relacionar cuánto se estira el material con el movimiento de los nodos.
Tensión-deformación. Se aplica la ley constitutiva del material (como la ley de Hooke) para relacionar las deformaciones con las tensiones internas.

Paso 4: Derivar la matriz de rigidez del elemento ([k])

Es el paso donde se construye el «ADN» de cada elemento. Utilizando métodos como el de equilibrio directo o el principio de energía potencial mínima, se genera una matriz que relaciona las fuerzas nodales con los desplazamientos nodales del elemento individual:

{f} = [k] · {d}

Paso 5: Ensamblaje de las ecuaciones globales y condiciones de contorno

El software toma todas las pequeñas matrices individuales y las une en una matriz de rigidez global ([K]) que representa a toda la estructura. Sin embargo, esta matriz es inicialmente «singular» (inestable). Debemos aplicar condiciones de contorno (restricciones o apoyos) para evitar que el modelo se mueva como un cuerpo rígido por el espacio infinito.

El software resuelve seis de los siete pasos en segundos. El primero — decidir cómo trocear la pieza — lo tienes que resolver tú.

Paso 6: Resolver las incógnitas (desplazamientos)

Ahora que tenemos un sistema de ecuaciones gigante, el ordenador utiliza métodos numéricos (como la eliminación de Gauss) para encontrar los desplazamientos en cada nodo. Estos desplazamientos son las incógnitas primarias del MEF.

{F} = [K] · {u}

Paso 7: Calcular tensiones y deformaciones elementales

Una vez que sabemos cuánto se ha movido cada nodo, el proceso vuelve hacia atrás. Utilizando las relaciones definidas en el paso 3, el software calcula las deformaciones y, finalmente, las tensiones (como las de Von Mises) dentro de cada elemento. Estos resultados son los que vemos representados en los famosos mapas de colores de las simulaciones.

Lo que decide el ingeniero, y lo que no

Los pasos 2 a 7 los ejecuta el software sin que intervengas: son mecánicos, repetibles, y no dejan margen de criterio. El paso 1 — la discretización — es la excepción. Ahí decides tú qué tipo de elemento usar, qué función de desplazamiento asumes implícitamente al elegirlo, y qué simplificaciones aceptas. Un error en ese único paso manual invalida los otros seis, por bien resueltos que estén.

En el próximo artículo entramos en el corazón de todo esto: la matriz de rigidez [K]. Veremos, con el ejemplo más simple posible — un resorte lineal — cómo se ensamblan las ecuaciones globales, y por qué esa matriz decide, más que cualquier otro elemento del cálculo, si tu simulación es fiable.

FIN

In our first article we saw how FEA turns a real object into a mathematical model through discretisation: cutting the part into finite elements connected by nodes. But discretising is only the opening move. What does the software do with that mesh to turn it into a stress number?

FEA doesn't improvise. Whether you're aware of it or not, every time you hit "Solve" the software runs the same sequence of seven steps, in the same order, to turn physical laws into thousands of simultaneous algebraic equations. Understanding that sequence — and knowing which of the seven steps is actually yours to make — is what separates operating the software from understanding what it does.

A map before the detail

Before going through each step, it helps to see the whole picture. Of the seven, the first is a decision made by the engineer; the remaining six are executed automatically by the software, chained into a single process: from mesh to matrix, from matrix to displacements, from displacements to stresses.

Fig. 1 — The 7 steps of FEA. Step 1 (blue) is decided by the engineer; steps 2 to 7 are run automatically and in sequence by the software, ending in the result.

Step 1: Discretisation and element type selection

The first step is dividing the structure into small parts called elements, connected by nodes. Here, the engineer must decide which element type best represents the physics of the problem:

1D (lines): rods or beams for slender structures.
2D (planes): for plane stress or plane strain states and thin shells.
3D (solids): tetrahedra or hexahedra for bulky parts.

The software doesn't make this choice for you — and a badly chosen element invalidates everything that follows, however precise the rest of the calculation is.

Step 2: Selecting a displacement function

Within each element, the software has to "guess" how the material will deform between the nodes. To do that, it assumes a displacement function (usually a linear, quadratic or cubic polynomial). These functions are expressed through shape functions, which guarantee that the displacement at any interior point depends on the movements of that element's nodes.

Fig. 2 — The shape function interpolates displacement between the known nodal values (d_i, d_j). A higher-order polynomial (quadratic) tracks the real deformation more faithfully than a linear one, at the cost of more computation.

Step 3: Defining the strain-displacement and stress-strain relations

This is where we move from geometry to physics:

Strain-displacement. Kinematic equations relate how much the material stretches to the movement of the nodes.
Stress-strain. The material's constitutive law (such as Hooke's law) is applied to relate those strains to internal stresses.

Step 4: Deriving the element stiffness matrix ([k])

This is the step where each element's "DNA" is built. Using methods such as direct equilibrium or the principle of minimum potential energy, a matrix is generated that relates the nodal forces to the nodal displacements of that individual element:

{f} = [k] · {d}

Step 5: Assembling the global equations and boundary conditions

The software takes all the small individual matrices and joins them into a global stiffness matrix ([K]) representing the whole structure. However, this matrix is initially "singular" (unstable). Boundary conditions (restraints or supports) must be applied to stop the model from moving through space as a rigid body.

The software solves six of the seven steps in seconds. The first one — deciding how to cut up the part — is yours to solve.

Step 6: Solving for the unknowns (displacements)

Now that we have a giant system of equations, the computer uses numerical methods (such as Gaussian elimination) to find the displacements at every node. These displacements are the primary unknowns of FEA.

{F} = [K] · {u}

Step 7: Computing elemental stresses and strains

Once we know how much each node has moved, the process runs in reverse. Using the relations defined in step 3, the software computes the strains and, finally, the stresses (such as Von Mises) within each element. These results are what you see displayed in the familiar colour contours of a simulation.

What the engineer decides, and what they don't

Steps 2 through 7 run without you: they're mechanical, repeatable, and leave no room for judgement. Step 1 — discretisation — is the exception. That's where you decide which element type to use, which displacement function you're implicitly assuming by choosing it, and which simplifications you accept. A mistake in that single manual step invalidates the other six, however well they're solved.

In the next article we go into the heart of all this: the stiffness matrix [K]. Using the simplest possible example — a linear spring — we'll see how the global equations are assembled, and why that matrix decides, more than any other part of the calculation, whether your simulation can be trusted.

END