Los tres pilares del análisis elástico lineal.

El artículo anterior mostró cómo un objeto real se trocea en nodos y elementos. Pero antes de que el software pueda ejecutar los siete pasos de cálculo que veremos en el próximo artículo de esta serie, tiene que apoyarse en algo mucho más antiguo que el propio FEA: la teoría de la elasticidad lineal. Todo simulador, por sofisticada que sea su interfaz, resuelve en el fondo tres conjuntos de ecuaciones a la vez —equilibrio de fuerzas, compatibilidad cinemática de los desplazamientos y ley de comportamiento del material—, y ninguno de los tres es negociable. Entender esos tres pilares es lo que separa a quien interpreta un mapa de tensiones de quien solo lo mira.

Un sistema de quince ecuaciones

Para un sólido en tres dimensiones, la solución completa tiene quince incógnitas: tres desplazamientos (u, v, w), seis deformaciones —tres de estiramiento, tres de distorsión angular— y seis tensiones, con la misma división. Para despejarlas hacen falta exactamente quince ecuaciones, repartidas en tres grupos:

3 equilibrio + 6 cinemáticas + 6 constitutivas = 15

Ningún grupo basta por sí solo, y ningún resultado de FEA es válido si alguno de los tres falla en silencio mientras los otros dos parecen ir bien.

Pilar 1 — El equilibrio

Aísla mentalmente un cubo infinitesimal en el interior de la pieza. Sobre sus caras actúan tensiones normales (σ) y tangenciales (τ); en su volumen, fuerzas como la gravedad o la inercia (f). Para que ese cubo ni acelere ni se desgarre, la variación de las tensiones entre caras opuestas debe compensarse exactamente con esas fuerzas de volumen. En la dirección x, eso se escribe:

∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z + fx = 0

Las otras dos direcciones repiten la misma estructura. Son solo tres ecuaciones, pero se cumplen en cada uno de los infinitos puntos del sólido.

Fig. 1 — Equilibrio del elemento diferencial: las tensiones en caras opuestas casi se cancelan entre sí; la pequeña diferencia que queda se compensa exactamente con las fuerzas de volumen f. Los tres pares laten por turnos para recordar que su suma, en cada punto, es siempre cero.

El software traslada este principio a la escala global con la ecuación de rigidez, {F} = [K]{u}: la suma de fuerzas nodales externas debe igualar a las reacciones internas generadas por la estructura. Pero hay una letra pequeña que conviene no olvidar —el equilibrio se satisface de forma exacta solo en los nodos. Dentro de cada elemento es una aproximación, tan buena como lo sea la malla.

El equilibrio no es una propiedad del resultado. Es una condición que el software impone con exactitud en los nodos —y que solo aproxima en todo lo demás.

Pilar 2 — La cinemática

El segundo pilar no habla de fuerzas: habla de geometría pura. Las ecuaciones deformación-desplazamiento traducen cómo se mueven los puntos del cuerpo (u, v, w) en cómo se deforma el material (ε). Hay seis componentes de deformación en cada punto —tres de estiramiento, tres de distorsión angular—, y bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones se obtienen derivando los desplazamientos:

εx = ∂u/∂x · γxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x

Fig. 2 — El elemento respira entre su forma original (contorno discontinuo) y su forma deformada: el estiramiento del lado da εx, el cambio de ángulo en la esquina da γxy. Los desplazamientos u, v se resuelven primero en los nodos; la deformación se deriva después, punto a punto.

Este pilar es el que ejecuta primero el software: resuelve los desplazamientos nodales —la incógnita principal del sistema {K}{u} = {F}— y solo después deriva las deformaciones dentro de cada elemento a partir de ellos. Si la pieza se deforma tanto que su forma cambia de manera apreciable, esta relación lineal deja de ser válida y hace falta un análisis no lineal geométrico.

Pilar 3 — El material

El tercer pilar es el puente entre los otros dos: convierte deformación en tensión. Para un material elástico, lineal, homogéneo e isótropo, esa relación es la ley de Hooke generalizada, y depende de solo dos constantes —el módulo de Young E y el coeficiente de Poisson ν— agrupadas en la matriz constitutiva [D]:

{σ} = [D] · {ε}

Fig. 3 — La matriz [D] traduce deformación en tensión mediante E y ν. Los términos ν acoplan εx con σy y viceversa; el término inferior derecho, ligado al módulo de cortante G = E / [2(1+ν)], es independiente de los demás. Debajo, las tres simplificaciones habituales según la geometría de la pieza.

En la práctica, [D] casi nunca se usa en su forma 3D completa. Según la geometría de la pieza, se simplifica:

Tensión plana. Placas delgadas cargadas en su propio plano —se asume σz = 0.
Deformación plana. Cuerpos muy largos, como presas o túneles —se asume εz = 0.
Estado axisimétrico. Geometría y cargas con simetría de revolución —un problema 3D se reduce a un análisis en un único plano.

Elegir la simplificación equivocada no produce un error de software: produce un resultado numéricamente correcto y físicamente falso.

Cómo los une el FEA

Resolver a mano este sistema de quince ecuaciones es inviable para cualquier geometría que no sea un prisma o un cilindro. El FEA no lo resuelve de forma directa —lo rodea: discretiza el cuerpo en elementos finitos y aproxima los desplazamientos dentro de cada uno con funciones de forma, polinomios sencillos definidos en los nodos. Al pulsar «Solve», el software encadena los tres pilares en un único proceso: usa la cinemática para pasar de desplazamientos a deformaciones, usa la ley del material para pasar de deformaciones a tensiones, y usa el principio de los trabajos virtuales —una forma de equilibrio expresada en términos de energía— para integrar ambos pasos en la matriz de rigidez de cada elemento.

La validez depende de los tres a la vez

Un error en las condiciones de contorno rompe el equilibrio. Un mallado que no capta el gradiente de deformación rompe la cinemática. Una propiedad elástica mal introducida rompe la ley del material. Cualquiera de los tres, por separado, invalida el análisis completo —sin importar cuán coloridos sean los mapas de tensiones que produzca el software después.

FIN

The previous article showed how a real object gets carved into nodes and elements. But before the software can run the seven calculation steps we'll cover in the next article of this series, it has to lean on something much older than FEA itself: the theory of linear elasticity. Every solver, however polished its interface, is really solving three sets of equations at once —force equilibrium, kinematic compatibility of displacements, and the material's constitutive law— and none of the three is optional. Understanding those three pillars is what separates someone who interprets a stress map from someone who just looks at it.

A system of fifteen equations

For a solid in three dimensions, the complete solution has fifteen unknowns: three displacements (u, v, w), six strains —three stretching, three angular distortion— and six stresses, split the same way. Solving for them takes exactly fifteen equations, split into three groups:

3 equilibrium + 6 kinematic + 6 constitutive = 15

No single group is enough on its own, and no FEA result is valid if any one of the three fails silently while the other two look fine.

Pillar 1 — Equilibrium

Picture an infinitesimal cube inside the part. Normal stresses (σ) and shear stresses (τ) act on its faces; body forces such as gravity or inertia (f) act on its volume. For that cube to neither accelerate nor tear apart, the variation in stresses between opposite faces has to be exactly balanced by those body forces. In the x direction, that's written as:

∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z + fx = 0

The other two directions repeat the same structure. Just three equations —but they hold at every one of the infinite points in the solid.

Fig. 1 — Equilibrium of the differential element: stresses on opposite faces almost cancel out; the small remaining difference is exactly balanced by the body forces f. The three pairs pulse in turn as a reminder that their sum, at every point, is always zero.

The software carries this principle over to the global scale in the stiffness equation, {F} = [K]{u}: the sum of external nodal forces has to equal the internal reactions generated by the structure. But there's fine print worth remembering —equilibrium is satisfied exactly only at the nodes. Inside each element it's an approximation, only as good as the mesh.

Equilibrium isn't a property of the result. It's a condition the software enforces exactly at the nodes —and only approximates everywhere else.

Pillar 2 — Kinematics

The second pillar has nothing to do with forces: it's pure geometry. Strain-displacement equations translate how the points of the body move (u, v, w) into how the material deforms (ε). There are six strain components at every point —three stretching, three angular distortion— and under the small-strain assumption they're obtained by differentiating the displacements:

εx = ∂u/∂x · γxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x

Fig. 2 — The element breathes between its original shape (dashed outline) and its deformed shape: the stretch of the side gives εx, the change in corner angle gives γxy. Displacements u, v are solved for at the nodes first; strain is derived afterwards, point by point.

This is the pillar the software runs first: it solves for the nodal displacements —the primary unknown in {K}{u} = {F}— and only afterwards derives the strains inside each element from them. If the part deforms so much that its shape changes appreciably, this linear relationship stops holding and a geometrically non-linear analysis is needed.

Pillar 3 — The material

The third pillar bridges the other two: it converts strain into stress. For an elastic, linear, homogeneous and isotropic material, that relationship is the generalised Hooke's law, and it depends on just two constants —Young's modulus E and Poisson's ratio ν— grouped in the constitutive matrix [D]:

{σ} = [D] · {ε}

Fig. 3 — The [D] matrix translates strain into stress through E and ν. The ν terms couple εx with σy and vice versa; the bottom-right term, tied to the shear modulus G = E / [2(1+ν)], is independent of the rest. Below, the three simplifications commonly used depending on the part's geometry.

In practice, [D] is almost never used in its full 3D form. Depending on the part's geometry, it's simplified to:

Plane stress. Thin plates loaded in their own plane —σz is assumed to be zero.
Plane strain. Very long bodies, such as dams or tunnels —εz is assumed to be zero.
Axisymmetric state. Geometry and loads with rotational symmetry —a 3D problem collapses to an analysis in a single plane.

Choosing the wrong simplification doesn't throw a software error: it produces a numerically correct, physically false result.

How FEA ties them together

Solving this fifteen-equation system by hand is unworkable for any geometry beyond a prism or a cylinder. FEA doesn't solve it directly —it works around it: it discretises the body into finite elements and approximates the displacements inside each one with shape functions, simple polynomials defined at the nodes. When you hit "Solve", the software chains the three pillars into a single process: it uses kinematics to go from displacements to strains, uses the material law to go from strains to stresses, and uses the principle of virtual work —a form of equilibrium expressed in energy terms— to integrate both steps into the stiffness matrix of each element.

Validity depends on all three at once

A mistake in the boundary conditions breaks equilibrium. A mesh that fails to capture the strain gradient breaks kinematics. A badly entered elastic property breaks the material law. Any one of the three, on its own, invalidates the entire analysis —no matter how colourful the stress maps the software produces afterwards.

END