3D solid elements: hexahedra vs. tetrahedra

En la transición del diseño conceptual a la validación detallada de un componente mecánico, los elementos tridimensionales sólidos se vuelven indispensables para capturar estados de tensión multiaxiales complejos — especialmente en piezas obtenidas por fundición, forja o mecanizado. A diferencia de los elementos de viga o lámina, los sólidos solo poseen grados de libertad de traslación en sus nodos: tres por nodo (u, v, w), sin ninguna rigidez ni grado de libertad rotacional. Esa limitación cinemática hace que el tipo de elemento —hexaedros («bricks») o tetraedros— y su orden matemático sean decisiones críticas: elegir mal no da un resultado «un poco menos preciso», da un resultado numéricamente inválido.

TET4: el tetraedro lineal y el problema de la tensión constante

El tetraedro lineal de 4 nodos (TET4) es, geométricamente, el bloque de construcción sólido más simple. Pero su formulación emplea funciones de forma lineales: el campo de desplazamientos se interpola linealmente dentro del elemento y, como consecuencia directa, la deformación y la tensión resultan rigurosamente constantes en todo su volumen — de ahí que también se le conozca como constant strain tetrahedron.

Esa característica genera deficiencias graves cuando la estructura se somete a flexión o presenta gradientes de tensión pronunciados:

Excesiva rigidez estructural: un elemento de deformación constante es incapaz de curvarse. Al intentar representar flexión, el TET4 se distorsiona absorbiendo energía de forma artificial, y el modelo acaba comportándose mucho más rígido que la estructura real (shear locking).
Insensibilidad a los gradientes: como la tensión es constante dentro del elemento, hace falta una densidad de malla prohibitiva para capturar picos de tensión en filetes, chaveteros o agujeros.
Pobreza de resultados: en estudios comparativos de flexión, mallas densas de TET4 llegan a subestimar desplazamientos y tensiones reales en más de un 60% — inaceptable para cualquier estándar de ingeniería.

Fig. 1 — Una malla TET4 no puede seguir la curva real de flexión (línea discontinua): sus aristas permanecen rectas y la deformación es constante dentro de cada elemento (ε=k), sin importar cuántos tetraedros añadas en la sección.

Por estas razones, el TET4 debe evitarse de forma general en análisis estructurales: resérvalo para zonas de muy baja tensión o modelos globales de gran tamaño donde solo interese aproximar la masa total.

HEX8 y HEX20: los reyes de la precisión, con matices

Los elementos hexaédricos de 8 nodos (HEX8 o «bricks») ofrecen un rendimiento muy superior al TET4. Con sus 24 grados de libertad totales, representan la rigidez y las trayectorias de carga con mucha más fidelidad usando menos ecuaciones. Pero no están completamente libres de problemas.

Bloqueo por cortante: si la malla es demasiado gruesa —un solo elemento a lo largo del espesor de una sección en flexión, por ejemplo— el HEX8 también sufre shear locking. Sus caras permanecen planas e introducen cortante artificial. Se remedia colocando al menos tres o cuatro elementos a lo largo del espesor en zonas de flexión dominante.

La verdadera excelencia en precisión llega con los hexaedros cuadráticos de 20 nodos (HEX20), de la familia serendipity. Al incorporar nodos intermedios en sus aristas, permiten que caras y aristas se curven físicamente, eliminando por completo el bloqueo por cortante — con un margen de error inferior al 2% incluso con mallas muy gruesas (un solo elemento en el espesor).

Fig. 2 — Bajo flexión, el HEX8 (izq.) fuerza sus caras a permanecer planas y genera cortante artificial si la malla es gruesa; el HEX20 (dcha.) añade un nodo intermedio en cada arista que permite que la cara se curve, eliminando el bloqueo.

El gran inconveniente del hexaedro es el tiempo de ingeniería, no el cómputo. Generar una malla estructurada de hexaedros sobre una geometría compleja es una tarea manual y tediosa que exige una planificación y partición de volúmenes considerable. A diferencia de los tetraedros, los preprocesadores modernos no disponen de algoritmos de mallado automático robustos para hexaedros en geometrías arbitrarias.

El hexaedro ofrece la física correcta; el tetraedro parabólico ofrece el tiempo del ingeniero. Ese es el verdadero compromiso — no la precisión.

TET10: la redención del tetraedro parabólico

Frente a la dificultad de mallar hexaedros en geometrías orgánicas o complejas —cárteres de motor, cajas de transmisión, piezas de fundición irregular—, los tetraedros parabólicos de 10 nodos (TET10) se consolidan como la mejor alternativa práctica en la industria.

Nodos intermedios y formulación cuadrática: al añadir un nodo en el punto medio de cada una de sus 6 aristas, el TET10 adopta una formulación cuadrática. El campo de tensiones y deformaciones varía linealmente dentro del elemento, eliminando el problema de la tensión constante.
Excelente comportamiento en flexión: a diferencia del TET4, el TET10 permite la curvatura de sus aristas, supera el bloqueo por cortante y captura con precisión el comportamiento de vigas o paredes delgadas en flexión.
Mallado automático eficiente: su mayor ventaja — es totalmente compatible con los algoritmos de generación automática de mallas de volumen, así que geometrías muy complejas se discretizan en minutos con mallas de calidad y precisión controlada.

Fig. 3 — El TET4 (izq.) solo tiene sus 4 vértices y aristas rectas. El TET10 (dcha.) añade un nodo en el punto medio de cada arista (6 en total, resaltados), lo que permite que la arista se curve y la formulación pase a ser cuadrática.

En la práctica, una malla de TET10 necesita solo dos elementos a través del espesor para predecir desplazamientos y tensiones de flexión con un error inferior al 4% — muy por debajo de lo que exige un HEX8 para alcanzar una precisión comparable.

K_TET4 ∈ ℝ^12×12 · K_HEX8 ∈ ℝ^24×24 · K_TET10 ∈ ℝ^30×30 · K_HEX20 ∈ ℝ^60×60

# Reglas prácticas de malla — elementos sólidos 3D
tet4.dof_node        = 3        # solo traslaciones — evita en flexión
tet4.strain          = "constante"  # por elemento, no interpola

hex8.elems_espesor  >= 3        # mínimo para evitar shear locking
hex20.elems_espesor >= 1        # error < 2% incluso con malla gruesa

tet10.elems_espesor >= 2        # error < 4% en flexión — mallado automático

Cómo elegir

Si la geometría es prismática o extruida, planea tu malla para utilizar elementos HEX8 o HEX20. Si te enfrentas a una geometría compleja e irregular de fundición o mecanizado, aprovecha la potencia de los malladores automáticos con TET10 — asegurando siempre un mínimo de dos elementos en el espesor de las paredes de la pieza.

Elemento	Nodos / DoF	Comportamiento	Usos recomendados	Limitaciones
TET4	4 / 12	Pobre (tensión constante, bloqueo por cortante)	Zonas no críticas, aproximación de masas	No usar en flexión ni gradientes de tensión
TET10	10 / 30	Excelente (tensión lineal, captura flexión)	Geometrías complejas, mallado automático rápido	Requiere más cómputo que mallas lineales
HEX8	8 / 24	Bueno (sensible a mallas gruesas en flexión)	Geometrías prismáticas, análisis lineales simples	Bloqueo por cortante si falta densidad
HEX20	20 / 60	Sobresaliente (elimina el bloqueo por cortante)	Secciones gruesas de alta precisión, flexión dominante	Mallado manual lento y complejo

El TET4 no es un atajo válido en ningún análisis con flexión o gradientes de tensión relevantes: por mucho que refines la malla, sigue sin poder curvarse. El resto de la decisión —HEX8, HEX20 o TET10— es un compromiso real entre precisión y tiempo de modelado, no entre precisión y precisión. Y una vez resuelto el tipo de elemento, queda una pregunta igual de crítica: cómo conectar estos elementos sólidos de solo traslación con vigas, láminas u otros sólidos sin crear mecanismos ni articulaciones artificiales — el terreno de las uniones rígidas y de interpolación (MPC).

FIN

In the move from conceptual design to detailed validation of a mechanical component, three-dimensional solid elements become indispensable for capturing complex multiaxial stress states — especially in parts produced by casting, forging or machining. Unlike beam or shell elements, solids only carry translational degrees of freedom at their nodes: three per node (u, v, w), with no rotational stiffness or DoF at all. That kinematic restriction makes the element type — hexahedra ("bricks") or tetrahedra — and its mathematical order critical decisions: choosing wrong doesn't give you a "slightly less accurate" result, it gives you a numerically invalid one.

TET4: the linear tetrahedron and the constant-strain problem

The 4-node linear tetrahedron (TET4) is, geometrically, the simplest solid building block. But its formulation uses linear shape functions: the displacement field interpolates linearly within the element, and as a direct consequence, strain and stress come out rigorously constant across its entire volume — hence its other name, the constant strain tetrahedron.

That trait creates serious deficiencies whenever the structure is subjected to bending or shows steep stress gradients:

Excessive structural stiffness: a constant-strain element cannot curve. Trying to represent bending, the TET4 distorts and artificially absorbs energy, so the model ends up behaving far stiffer than the real structure (shear locking).
Insensitivity to gradients: since stress is constant within the element, you need a prohibitively dense mesh to capture stress peaks at fillets, keyways or holes.
Poor results: in comparative bending studies, dense TET4 meshes can underestimate real displacements and stresses by more than 60% — unacceptable by any engineering standard.

Fig. 1 — A TET4 mesh can't follow the real bending curve (dashed line): its edges stay straight and strain is constant within each element (ε=k), no matter how many tetrahedra you add across the section.

For these reasons, the TET4 should generally be avoided in structural analysis: reserve it for very low-stress zones or large global models where only the total mass matters.

HEX8 and HEX20: the kings of accuracy, with caveats

8-node hexahedral elements (HEX8, or "bricks") perform far better than the TET4. With 24 total degrees of freedom, they represent stiffness and load paths much more faithfully with fewer equations. But they aren't entirely free of problems.

Shear locking: if the mesh is too coarse — a single element through the thickness of a section under bending, for example — the HEX8 also suffers from shear locking. Its faces stay flat and introduce artificial shear. The fix is placing at least three or four elements through the thickness in bending-dominated zones.

True accuracy arrives with 20-node quadratic hexahedra (HEX20), part of the serendipity family. By adding mid-side nodes on their edges, faces and edges can physically curve, eliminating shear locking entirely — with an error margin under 2% even with very coarse meshes (a single element through the thickness).

Fig. 2 — Under bending, the HEX8 (left) forces its faces to stay flat and generates artificial shear if the mesh is coarse; the HEX20 (right) adds a mid-side node on every edge, letting the face curve and eliminating the locking.

The hexahedron's real drawback is engineering time, not compute cost. Generating a structured hexahedral mesh over a complex geometry is a manual, tedious task that demands considerable planning and volume partitioning. Unlike tetrahedra, modern preprocessors don't have robust automatic hex-meshing algorithms for arbitrary geometries.

The hexahedron offers the right physics; the parabolic tetrahedron offers the engineer's time. That's the real trade-off — not accuracy.

TET10: the parabolic tetrahedron's redemption

Faced with the difficulty of meshing hexahedra on organic or complex geometries — engine blocks, gearboxes, irregular castings — the 10-node parabolic tetrahedron (TET10) stands out as the industry's best practical alternative.

Mid-side nodes and quadratic formulation: by adding a node at the midpoint of each of its 6 edges, the TET10 becomes a quadratic element. The strain and stress field varies linearly within the element, eliminating the constant-strain problem.
Excellent bending behaviour: unlike the TET4, the TET10 lets its edges curve, overcoming shear locking and accurately capturing the behaviour of beams or thin walls under bending.
Efficient automatic meshing: its biggest advantage — it's fully compatible with automatic volume-meshing algorithms, so highly complex geometries get discretised in minutes with controlled quality and accuracy.

Fig. 3 — The TET4 (left) only has its 4 vertices and straight edges. The TET10 (right) adds a node at the midpoint of every edge (6 total, highlighted), which lets the edge curve and turns the formulation quadratic.

In practice, a TET10 mesh only needs two elements through the thickness to predict bending displacements and stresses with an error under 4% — well below what a HEX8 needs to reach comparable accuracy.

K_TET4 ∈ ℝ^12×12 · K_HEX8 ∈ ℝ^24×24 · K_TET10 ∈ ℝ^30×30 · K_HEX20 ∈ ℝ^60×60

# Practical meshing rules — 3D solid elements
tet4.dof_node        = 3        # translations only — avoid in bending
tet4.strain          = "constant"  # per element, no interpolation

hex8.elems_thickness  >= 3       # minimum to avoid shear locking
hex20.elems_thickness >= 1       # error < 2% even with a coarse mesh

tet10.elems_thickness >= 2       # error < 4% in bending — automatic meshing

How to choose

If the geometry is prismatic or extruded, plan your mesh around HEX8 or HEX20 elements. If you're facing a complex, irregular casting or machined geometry, lean on the power of automatic meshers with TET10 — always keeping a minimum of two elements across the part's wall thickness.

Element	Nodes / DoF	Behaviour	Recommended uses	Limitations
TET4	4 / 12	Poor (constant strain, shear locking)	Non-critical zones, mass approximation	Don't use in bending or stress gradients
TET10	10 / 30	Excellent (linear strain, captures bending)	Complex geometries, fast automatic meshing	Needs more compute than linear meshes
HEX8	8 / 24	Good (sensitive to coarse meshes in bending)	Prismatic geometries, simple linear analyses	Shear locking if density is insufficient
HEX20	20 / 60	Outstanding (eliminates shear locking)	Thick, high-accuracy sections, bending-dominant	Slow and complex manual meshing

The TET4 is never a valid shortcut in any analysis with meaningful bending or stress gradients: no matter how much you refine the mesh, it still can't curve. The rest of the decision — HEX8, HEX20 or TET10 — is a genuine trade-off between accuracy and modelling time, not between accuracy and accuracy. And once the element type is settled, an equally critical question remains: how to connect these translation-only solid elements to beams, shells or other solids without creating mechanisms or artificial hinges — the territory of rigid and interpolation constraints (MPCs).

END