Óptica de primer orden: puntos cardinales

El artículo anterior estableció los cimientos de la óptica geométrica: la naturaleza de la luz, el espectro electromagnético y la ley de Snell. Con esa base, toca dar el siguiente paso: cómo se predice dónde aparece una imagen y de qué tamaño, sin trazar cada rayo superficie por superficie. En el diseño de sistemas ópticos, antes de abordar las aberraciones o la fabricación, es imperativo establecer la arquitectura básica del sistema. La óptica de primer orden —también llamada óptica gaussiana— describe el comportamiento de los sistemas ópticos «perfectos» en la región paraxial: una franja infinitesimalmente delgada alrededor del eje óptico donde todos los ángulos son tan pequeños que sus senos y tangentes se pueden igualar al propio ángulo en radianes.

sin θ ≈ tan θ ≈ θ

Parece una simplificación excesiva, pero un sistema bien corregido sigue estas leyes de forma casi exacta —lo que convierte estos cálculos en la base de cualquier diseño óptico serio.

El concepto de caja negra y los puntos cardinales

Un sistema óptico complejo, compuesto por varias lentes y espejos, se puede tratar como una caja negra cuyas propiedades de formación de imagen quedan completamente definidas por sus puntos cardinales. Conociendo solo los puntos de entrada y salida, estos puntos permiten calcular la trayectoria de la luz a través de todo el sistema sin preocuparse por las refracciones intermedias.

Fig. 1 — El sistema se trata como una caja negra: basta con los puntos cardinales —F₁, P₁, P₂, F₂— para seguir el rayo de entrada a salida, sin conocer las superficies internas.

Existen tres pares de puntos cardinales fundamentales:

Puntos focales (F₁, F₂). Los rayos que entran al sistema paralelos al eje óptico —procedentes de un objeto en el infinito— se cruzan en el segundo punto focal F₂. A la inversa, los rayos que pasan por el primer punto focal F₁ emergen paralelos al eje.
Puntos principales (P₁, P₂). Son los puntos de intersección de los planos principales con el eje óptico. Estos planos tienen aumento unitario: un rayo parece entrar al sistema a una altura y sobre el primer plano principal, y parece emerger del segundo plano principal a esa misma altura y.
Puntos nodales (N₁, N₂). Un rayo dirigido hacia el primer punto nodal emerge del sistema como si procediera del segundo punto nodal, con la misma dirección angular de entrada. Dato clave para el ingeniero: cuando el sistema está sumergido en aire —el caso más habitual— los puntos nodales coinciden exactamente con los puntos principales.

Definiciones de distancia focal

A partir de estos puntos se definen las distancias que de verdad importan para el diseño mecánico y óptico:

Distancia focal efectiva (EFL). La distancia desde el punto principal hasta el punto focal correspondiente (f o f′). Es el valor que define la potencia del sistema.
Distancia focal posterior (BFL). La distancia desde el vértice de la última superficie física de la lente hasta el segundo punto focal. Vital para asegurar que quede espacio para el sensor o los prismas detrás de la lente.
Distancia focal frontal (FFL). La distancia desde la primera superficie física hasta el primer punto focal.

Fig. 2 — EFL, BFL y FFL: la EFL se mide desde el plano principal, mientras que BFL y FFL se miden desde el vértice físico de la lente —la cota que de verdad limita el espacio mecánico disponible.

Ecuaciones fundamentales para localizar imágenes

Para evitar el trazado de rayos superficie por superficie, el ingeniero recurre a dos formas matemáticas de la misma ley.

La ecuación de Newton

Ideal cuando se conocen las distancias respecto a los focos. Si x es la distancia del objeto al primer foco y x′ la distancia de la imagen al segundo foco:

x · x′ = −f · f′

En aire, donde f = f′, la ecuación se simplifica a x′ = −f² / x.

La ecuación de Gauss

Es la forma más usada en la práctica: mide las distancias s (objeto) y s′ (imagen) desde los planos principales.

1/s′ = 1/f + 1/s

Siguiendo la convención de signos habitual, un objeto situado a la izquierda de la lente da un valor de s negativo.

Fig. 3 — Dos rayos bastan para localizar la imagen: el paralelo al eje que pasa por F₂, y el que atraviesa el centro sin desviarse. La imagen resulta invertida y real.

Aumento lateral y longitudinal

El aumento lateral (m) es la relación entre el tamaño de la imagen (h′) y el del objeto (h):

m = h′/h = s′/s

Un valor de m negativo indica una imagen invertida (real); un valor positivo indica una imagen erecta (virtual).

El aumento longitudinal (m_L), por su parte, describe cómo se magnifica el grosor de un objeto a lo largo del eje óptico, y se relaciona con el lateral mediante la aproximación:

m_L ≈ m²

Es decir, si un sistema tiene un aumento lateral de 2, un objeto con profundidad se verá 4 veces más profundo en el espacio imagen —una trampa habitual para quien diseña relés de profundidad o sistemas 3D.

Fig. 4 — Aumento lateral: la imagen sale invertida y el doble de alta (m = −2). El aumento longitudinal crece con el cuadrado de m: la misma escena, cuatro veces más profunda en el espacio imagen.

Convención de signos: el estándar en ingeniería

Para que estas ecuaciones funcionen sin ambigüedad, el ingeniero sigue una convención estricta:

La luz viaja de izquierda a derecha.
Las distancias medidas a la derecha de un punto de referencia son positivas; a la izquierda, negativas.
Las alturas sobre el eje óptico son positivas.
La distancia focal de una lente convergente es positiva, y la de una divergente, negativa.

Media docena de puntos y dos ecuaciones bastan para diseñar el layout de un telescopio sin trazar un solo rayo por cada lente.

De la caja negra a las aberraciones reales

El dominio de la óptica de primer orden permite al ingeniero realizar el diseño preliminar —el layout— de instrumentos complejos como telescopios y microscopios, tratando cada grupo de lentes como un componente simple definido por sus puntos cardinales. Una vez asentada esta base, el siguiente paso natural es analizar las aberraciones de Seidel: las desviaciones reales que cualquier sistema construido presenta frente a este modelo ideal de rayos paraxiales.

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